Diagonalization

$$D=V^{-1}AV$$

square matrix $A$에 대하여, 대각행렬 $D$를 만드는 과정

• $V$ 역시 square matrix이며, invertible해야 한다.
• invertible한 $V$가 존재하지 않는다면, Digonal Matrix of $A$가 존재하지 않을 수도 있다.
• $det(A-\lambda I)=0$의 Characteristic equation에서, $\lambda$에 대한 중근이 존재하지 않는다면, $A$는 digonalizable 하다.
  • 서로 다른 eigenvalue에 대해서는, 서로 Linear Independent하기 때문이며, 이는 곧 orthogonal함을 의미한다.
• 만약, $V$가 orthogonal하다면, 그때의 $A$는 orthogonally diagonalizable하며, $D=V^{-1}AV=V^{\top }AV$
  • 이는, $A$가 symmetrix하다는 것과 필요충분조건이다.

Finding

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1. $VD=AV$
2. $AV=A\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{v_1}& \overrightarrow{v_2}& \cdots \overrightarrow{v_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}A\overrightarrow{v_1}& A\overrightarrow{v_2}& \cdots A\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]$
3. $VD=\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{v_1}& \overrightarrow{v_2}& \cdots \overrightarrow{v_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1\overrightarrow{v_1}& {\lambda }_2\overrightarrow{v_2}& \cdots & {\lambda }_n\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]$
4. $\left[\begin{array}{ccc}A\overrightarrow{v_1}& A\overrightarrow{v_2}& \cdots A\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1\overrightarrow{v_1}& {\lambda }_2\overrightarrow{v_2}& \cdots & {\lambda }_n\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]$ 각각 Eigenvectors and Eigenvalues가 되어야 한다. 그리고, Eigenvectors 끼리는 Linear Independent해야만, $V$가 invertible 해진다.